Завдання № 30. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На осях координат знайдіть точки, які розміщені на відстані $5$ від точки $A(-3;4)$.

Покроковий розв’язок:

Відстань $d$ між двома точками $P_1(x_1;y_1)$ та $P_2(x_2;y_2)$ на координатній площині визначається за формулою:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
або в квадраті:
$d^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$

Знайдемо шукані точки окремо на кожній з осей координат.

1. Точки на осі абсцис ($Ox$):

Будь-яка точка, що належить осі абсцис, має ординату, яка дорівнює нулю. Нехай це точка $M(x;0)$.

За умовою задачі відстань $AM=5$, отже, $A{M}^2=5^2=25$.

Складемо рівняння:
$(-3-x{)}^2+(4-0{)}^2=25$

Оскільки $(-3-x{)}^2=(x+3{)}^2$, отримуємо:
$(x+3{)}^2+16=25$
$(x+3{)}^2=25-16$
$(x+3{)}^2=9$

Розв’яжемо отримане рівняння:
$x+3=3\text{або}x+3=-3$
$x_1=0\text{або}{x}_2=-6$

Таким чином, на осі абсцис є дві точки, віддалені від точки $A$ на відстань $5$:
$(0;0)\text{та}(-6;0)$

2. Точки на осі ординат ($Oy$):

Будь-яка точка, що належить осі ординат, має абсцису, яка дорівнює нулю. Нехай це точка $K(0;y)$.

За умовою задачі відстань $AK=5$, отже, $A{K}^2=5^2=25$.

Складемо рівняння:
$(0-(-3){)}^2+(y-4{)}^2=25$
$3^2+(y-4{)}^2=25$
$9+(y-4{)}^2=25$
$(y-4{)}^2=25-9$
$(y-4{)}^2=16$

Розв’яжемо отримане рівняння:
$y-4=4\text{або}y-4=-4$
$y_1=8\text{або}{y}_2=0$

Таким чином, на осі ординат шуканими є точки:
$(0;8)\text{та}(0;0)$

Точка $(0;0)$ є початком координат і належить одночасно обом осям.

Відповідь:
На осі абсцис: $(0;0)$ та $(-6;0)$; на осі ординат: $(0;0)$ та $(0;8)$.