Завдання № 30.9. § 30. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У правильній трикутній піраміді кут $\angle AQB=90^{\circ }$, $AQ=a$ (мал. 30.2). Знайдіть:

1) бічну поверхню піраміди;

2) повну поверхню піраміди.

Покроковий розв’язок:

За означенням правильної трикутної піраміди, в її основі лежить правильний (рівносторонній) трикутник $△ABC$, а бічні ребра рівні між собою:
$AQ=BQ=CQ=a$
Бічні грані піраміди є рівними трикутниками: $△AQB=△BQC=△CQA$.

1. Знаходження площі бічної поверхні піраміди

Оскільки бічна грань $△AQB$ є прямокутним рівнобедреним трикутником із прямим кутом $\angle AQB=90^{\circ }$ та катетами $AQ=BQ=a$, її площа дорівнює половині добутку катетів:
$S_{△AQB}=\frac{1}{2}\cdot AQ\cdot BQ=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{a^2}{2}$

Площа бічної поверхні правильної піраміди складається із суми площ трьох однакових бічних граней:
$S_{\text{біч}}=3\cdot S_{△AQB}=3\cdot \frac{a^2}{2}=\frac{3a^2}{2}=1,5a^2$

2. Знаходження площі повної поверхні піраміди

Знайдемо довжину сторони основи $AB$. Із прямокутного трикутника $△AQB$ за теоремою Піфагора:
$AB=\sqrt{A{Q}^2+B{Q}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

Основа піраміди — правильний трикутник $△ABC$ зі стороною $a\sqrt{2}$. За формулою площі рівностороннього трикутника зі стороною $b$ ($S=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}$), маємо:
$S_{\text{осн}}=\frac{A{B}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{(a\sqrt{2}{)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{2a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Площа повної поверхні піраміди дорівнює сумі площ бічної поверхні та основи:
$S_{\text{повн}}=S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}}=\frac{3a^2}{2}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2(3+\sqrt{3})}{2}$

Відповідь:

1) $1,5a^2$;

2) $\frac{a^2(3+\sqrt{3})}{2}$.