Завдання № 30.7. § 30. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює $4\text{ см}$, а апофема — $5\text{ см}$. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

Покроковий розв’язок:

Площа повної поверхні піраміди дорівнює сумі площі її основи та площі бічної поверхні:
$S_{\text{пов}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{біч}}$

1. Обчислення площі основи
Основою правильної трикутної піраміди є правильний (рівносторонній) трикутник зі стороною $a=4\text{ см}$.

Площу рівностороннього трикутника обчислюємо за формулою:
$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Підставимо значення сторони основи:
$S_{\text{осн}}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

2. Обчислення площі бічної поверхні
Бічна поверхня правильної піраміди складається з трьох рівних трикутників (бічних граней).

Площа однієї бічної грані дорівнює половині добутку сторони основи $a=4\text{ см}$ на апофему (висоту бічної грані) $l=5\text{ см}$:
$S_{\text{гр}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot l=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5=10{\text{ см}}^2$

Тоді площа бічної поверхні:
$S_{\text{біч}}=3\cdot S_{\text{гр}}=3\cdot 10=30{\text{ см}}^2$

3. Обчислення площі повної поверхні
Додамо знайдені значення площ:
$S_{\text{пов}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{біч}}=4\sqrt{3}+30=(30+4\sqrt{3}){\text{ см}}^2$

Відповідь:
$(30+4\sqrt{3}){\text{ см}}^2$