Завдання № 30.2. § 30. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На малюнку 30.3 зображено правильну чотирикутну піраміду $QABCD$.

1) Назвіть пряму перетину площин $QBC$ і $ABC$.

2) Яке взаємне розміщення прямих $QA$ і $DC$?

3) Чи перетинає пряма $QO$ площину $ABC$?

Покроковий розв’язок:

1. Пряма перетину площин $QBC$ і $ABC$
Згідно з аксіомою стереометрії, якщо дві різні площини мають спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що проходить через ці точки.
Вершини $B$ і $C$ належать як грані $QBC$, так і основі $ABCD$ (площині $ABC$). Отже, дві спільні точки визначають пряму їхнього перетину — пряму $BC$.

2. Взаємне розміщення прямих $QA$ і $DC$
Застосуємо ознаку мимобіжних прямих: якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а друга перетинає цю площину в точці, яка не належить першій прямій, то ці прямі є мимобіжними.

• Пряма $DC$ повністю лежить у площині основи $ABC$.
• Пряма $QA$ перетинає площину $ABC$ у точці $A$.
• Точка $A$ не лежить на прямій $DC$ ($A\notin DC$).

Отже, прямі $QA$ і $DC$ є мимобіжними (не лежать в одній площині й не мають спільних точок).

3. Перетин прямої $QO$ з площиною $ABC$
Точка $O$ є точкою перетину діагоналей чотирикутника $ABCD$, тому вона належить площині основи $ABC$ ($O\in ABC$).
Вершина піраміди $Q$ не лежить у площині основи ($Q\notin ABC$). Оскільки пряма $QO$ має з площиною лише одну спільну точку $O$, вона перетинає площину $ABC$ у точці $O$.

Відповідь:

1) $BC$;

2) мимобіжні;

3) так, перетинає в точці $O$.