Завдання № 30.16. § 30. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У прямокутний трикутник з катетами $3\text{ см}$ і $4\text{ см}$ вписано квадрат так, що дві його вершини належать гіпотенузі, а дві інші — катетам. Знайдіть сторону квадрата.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження гіпотенузи трикутника

Нехай дано прямокутний трикутник $ABC$, у якого $\angle C=90^{\circ }$, катети $AC=3\text{ см}$ і $BC=4\text{ см}$.

За теоремою Піфагора знайдемо довжину гіпотенузи $AB$:

2. Обчислення висоти трикутника

Нехай $CH$ — висота трикутника $ABC$, проведена до гіпотенузи $AB$.

Площу прямокутного трикутника можна виразити двома способами: через добуток катетів або через добуток гіпотенузи на проведену до неї висоту:

Звідси знайдемо висоту $h=CH$:

3. Визначення сторони вписаного квадрата

Нехай у трикутник вписано квадрат $KLMN$ зі стороною $x\text{ см}$, де вершини $K$ і $L$ лежать на гіпотенузі $AB$, а вершини $N$ і $M$ — на катетах $AC$ і $BC$ відповідно.

Оскільки сторона квадрата $NM\parallel AB$, то пряма, що містить сторону $NM$, відтинає від трикутника $ABC$ подібний йому трикутник:

Висота $h_1$ меншого трикутника $△CNM$, опущена з вершини $C$ на сторону $NM$, дорівнює різниці повної висоти $h$ та сторони квадрата $x$:

У подібних трикутниках відповідні лінійні елементи пропорційні, зокрема відношення висот дорівнює відношенню відповідних сторін:

Підставимо відомі значення у пропорцію:

За основною властивістю пропорції:

Відповідь: $1\frac{23}{37}\text{ см}$.