Завдання № 30.14. § 30. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Катети прямокутного трикутника дорівнюють $a\text{ см}$ і $b\text{ см}$. Знайдіть відношення площ, на які ділить трикутник висота, проведена до гіпотенузи.

Покроковий розв’язок:

Розглянемо прямокутний трикутник $ABC$ з прямим кутом $C$ ($\angle ACB=90^{\circ }$), катетами $AC=a$ та $BC=b$.

Нехай $CK$ — висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу $AB$ ($CK\perp AB$). Висота $CK$ розбиває $△ABC$ на два прямокутні трикутники: $△ACK$ та $△CBK$.

Розв’язати задачу можна двома зручними способами:

Спосіб 1 (через подібність трикутників):

1. Доведення подібності утворених трикутників:

• У прямокутному трикутнику $ABC$: $\angle A+\angle B=90^{\circ }$, звідки $\angle A=90^{\circ }-\angle B$.
• У прямокутному трикутнику $ACK$ ($\angle AKC=90^{\circ }$): $\angle ACK=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-(90^{\circ }-\angle B)=\angle B$.
• Оскільки $\angle AKC=\angle CKB=90^{\circ }$ та $\angle ACK=\angle CBK$, то за першою ознакою подібності (за двома рівними кутами):

2. Знаходження відношення площ:

• У подібних прямокутних трикутниках $△ACK$ і $△CBK$ відповідними сторонами є їхні гіпотенузи $AC$ та $BC$ (вони лежать проти прямих кутів $\angle AKC$ та $\angle CKB$).
• Отже, коефіцієнт подібності цих трикутників дорівнює:

• За теоремою про відношення площ подібних многокутників, площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта їхньої подібності:

Спосіб 2 (тригонометричний):

Нехай гострий кут $\angle B=\alpha$, тоді $\angle A=90^{\circ }-\alpha$.

1. Розглянемо прямокутний трикутник $CBK$ ($\angle CKB=90^{\circ }$):

• За означеннями тригонометричних функцій гострого кута: $$CK=CB\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \alpha$$ $$BK=CB\cdot \cos \alpha =b\cdot \cos \alpha$$
• Площа прямокутного трикутника $CBK$ дорівнює половині добутку його катетів: $$S_{△CBK}=\frac{1}{2}\cdot CK\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot (b\cdot \sin \alpha )\cdot (b\cdot \cos \alpha )=\frac{1}{2}\cdot b^2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$$

2. Розглянемо прямокутний трикутник $ACK$ ($\angle AKC=90^{\circ }$):

• Оскільки $\angle ACK=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-(90^{\circ }-\alpha )=\alpha$: $$CK=AC\cdot \cos \alpha =a\cdot \cos \alpha$$ $$AK=AC\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \alpha$$
• Площа прямокутного трикутника $ACK$: $$S_{△ACK}=\frac{1}{2}\cdot CK\cdot AK=\frac{1}{2}\cdot (a\cdot \cos \alpha )\cdot (a\cdot \sin \alpha )=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$$

3. Знаходимо відношення площ трикутників:

Таким чином, площі утворених трикутників відносяться як $a^2:b^2$.

Відповідь:
$a^2:b^2$ (або $\frac{a^2}{b^2}$)