Завдання № 30.13. § 30. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Один з кутів паралелограма удвічі менший від іншого. Знайдіть меншу діагональ паралелограма, якщо його сторони дорівнюють $5\text{ см}$ і $8\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення кутів паралелограма
Нехай дано паралелограм $ABCD$, де $AB=5\text{ см}$, а $AD=8\text{ см}$.

Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих). Протилежні ж кути паралелограма рівні між собою. Отже, кути, про які йдеться в умові, є сусідніми.

Позначимо менший кут $\angle A$ через $x$. Тоді більший сусідній кут $\angle B$ дорівнює $2x$.
Складемо рівняння:
$x+2x=180^{\circ }$
$3x=180^{\circ }$
$x=60^{\circ }$

Таким чином:

• гострий кут паралелограма: $\angle A=60^{\circ }$;
• тупий кут паралелограма: $\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.

2. Обчислення меншої діагоналі
У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти його гострого кута, тобто це діагональ $BD$.

Розглянемо $△ABD$. За теоремою косинусів для сторони $BD$:
$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle A$

Підставимо відомі значення ($AB=5\text{ см}$, $AD=8\text{ см}$, $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$):

Звідси:
$BD=\sqrt{49}=7\text{ (см)}$

Відповідь: $7\text{ см}$.