Завдання № 30.12. § 30. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює $5\text{ см}$, а висота — $4\text{ см}$. Знайдіть об’єм піраміди.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення радіуса описаного навколо основи кола

Оскільки задана піраміда є правильною трикутною:

• її основою є правильний (рівносторонній) трикутник $ABC$;
• висота піраміди $QO$ проектується в центр описаного навколо основи кола — точку $O$.

Розглянемо прямокутний трикутник $QOA$ ($\angle QOA=90^{\circ }$), де гіпотенузою є бічне ребро $QA=5\text{ см}$, одним із катетів — висота піраміди $QO=4\text{ см}$, а другим катетом — радіус описаного кола $OA=R$.

За теоремою Піфагора:
$O{A}^2+Q{O}^2=Q{A}^2$
$R^2+4^2=5^2$
$R^2=25-16=9$
$R=3\text{ см}$

2. Обчислення сторони основи піраміди

Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника зі стороною $a$, обчислюється за формулою:
$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Звідси знайдемо сторону трикутника $a$:
$a=R\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\text{ см}$

3. Знаходження площі основи піраміди

Площа правильного трикутника зі стороною $a$ обчислюється за формулою:
$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}$

Підставимо значення сторони $a=3\sqrt{3}\text{ см}$:
$S_{\text{осн}}=\frac{(3\sqrt{3}{)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{9\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}{\text{ см}}^2$

4. Обчислення об’єму піраміди

Об’єм піраміди визначається за формулою:
$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot H$

Підставимо значення площі основи та висоти $H=QO=4\text{ см}$:
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{27\sqrt{3}}{4}\cdot 4=9\sqrt{3}{\text{ см}}^3$

Відповідь:
$9\sqrt{3}{\text{ см}}^3$