Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Основою чотирикутної піраміди є прямокутник зі сторонами і . Усі бічні ребра піраміди дорівнюють .
1) Доведіть, що основою висоти піраміди є точка перетину діагоналей основи.
2) Знайдіть об’єм піраміди.
Покроковий розв’язок:
1. Доведення розташування основи висоти
Нехай — дана піраміда, основою якої є прямокутник , а бічні ребра . Проведемо висоту піраміди , де точка — основа висоти, що лежить у площині прямокутника .
Оскільки відрізок перпендикулярний до площини основи, він перпендикулярний до будь-якої прямої цієї площини, яка проходить через точку . Отже, трикутники , , та є прямокутними з прямим кутом при вершині .
У цих трикутниках:
- катет — спільний;
- гіпотенузи рівні за умовою: .
За ознакою рівності прямокутних трикутників (за гіпотенузою та спільним катетом):
З рівності відповідних сторін цих трикутників випливає:
Це означає, що точка рівновіддалена від усіх чотирьох вершин прямокутника , тобто є центром описаного навколо нього кола. У прямокутнику центром описаного кола є точка перетину його діагоналей.
Таким чином, основою висоти піраміди є точка перетину діагоналей і прямокутника , що й треба було довести.
2. Обчислення діагоналі основи та висоти піраміди
Розглянемо прямокутний трикутник (). За теоремою Піфагора знайдемо довжину діагоналі :
Оскільки діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл:
Розглянемо прямокутний трикутник (). За теоремою Піфагора визначимо висоту піраміди :
3. Знаходження площі основи та об’єму піраміди
Площа основи піраміди (прямокутника ):
Об’єм піраміди обчислимо за формулою , де :
Відповідь: .