Завдання № 30.10. § 30. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У правильній чотирикутній піраміді (див. мал. 30.3) $\angle AQB=60^{\circ }$, $AQ=b$. Знайдіть:

1) бічну поверхню піраміди;

2) повну поверхню піраміди.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення виду бічних граней та сторони основи піраміди

За означенням правильної чотирикутної піраміди:

• основою піраміди є правильний чотирикутник, тобто квадрат $ABCD$;
• усі бічні ребра піраміди рівні між собою: $QA=QB=QC=QD=b$;
• усі бічні грані є рівними трикутниками.

Розглянемо бічну грань — трикутник $AQB$. У ньому сторони $AQ=BQ=b$, отже, $△AQB$ є рівнобедреним з основою $AB$.

Оскільки кут при вершині $\angle AQB=60^{\circ }$, знайдемо кути при основі:

Усі кути трикутника дорівнюють по $60^{\circ }$, тому $△AQB$ є рівностороннім. Звідси випливає, що сторона основи піраміди дорівнює бічному ребру:

Отже, кожна з чотирьох бічних граней є рівностороннім трикутником зі стороною $b$.

2. Знаходження площі бічної поверхні піраміди

Площа правильного (рівностороннього) трикутника зі стороною $b$ обчислюється за формулою:

Бічна поверхня піраміди складається з чотирьох рівних бічних граней:

3. Знаходження площі повної поверхні піраміди

Основою піраміди є квадрат $ABCD$ зі стороною $AB=b$. Його площа дорівнює:

Повна поверхня піраміди дорівнює сумі площ її бічної поверхні та основи:

Відповідь:

1) $\sqrt{3}{b}^2$;

2) $b^2(\sqrt{3}+1)$.