Завдання № 30.1. § 30. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

На малюнку зображено правильну трикутну піраміду $QABC$.

1) Назвіть пряму перетину площин $QAB$ і $ABC$.

2) Яке взаємне розміщення прямих $QB$ і $AC$?

3) Яке взаємне розміщення прямої $QO$ і площини $ABC$?

Покроковий розв’язок:

1. Пряма перетину площин $QAB$ і $ABC$
Знайдемо спільні точки площин бічної грані $QAB$ та основи $ABC$:

• Точка $A$ належить площині $QAB$ і площині $ABC$;
• Точка $B$ належить площині $QAB$ і площині $ABC$.

За аксіомою стереометрії, якщо дві різні площини мають дві спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що проходить через ці точки. Отже, площини $QAB$ і $ABC$ перетинаються по прямій $AB$.

2. Взаємне розміщення прямих $QB$ і $AC$
Скористаємося ознакою мимобіжних прямих: якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а друга перетинає цю площину в точці, яка не належить першій прямій, то ці прямі є мимобіжними.

• Пряма $AC$ лежить у площині основи $ABC$;
• Пряма $QB$ перетинає площину основи $ABC$ у точці $B$;
• Точка $B$ не лежить на прямій $AC$ ($B\notin AC$).

Отже, прямі $QB$ і $AC$ є мимобіжними.

3. Взаємне розміщення прямої $QO$ і площини $ABC$
За умовою піраміда $QABC$ є правильною трикутною пірамідою з вершиною $Q$. За означенням правильної піраміди, її основа — правильний трикутник, а основа висоти піраміди проєктується в центр правильного многокутника основи (центр трикутника $ABC$ — точка $O$). Відрізок $QO$ є висотою піраміди, тому пряма $QO$ перпендикулярна до площини основи: $QO\perp (ABC)$.

Відповідь:

1) Пряма $AB$;

2) мимобіжні;

3) перпендикулярні ($QO\perp (ABC)$).