Завдання № 3. Завдання для перевірки знань за курс геометрії 9 класу (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторони двох правильних п’ятикутників відносяться як $5:2$. Як відносяться їхні площі?

Покроковий розв’язок:

1. Властивість подібності правильних многокутників
Будь-які два правильні многокутники з однаковою кількістю сторін є подібними між собою, оскільки всі їхні відповідні кути рівні (для правильного п’ятикутника кожен внутрішній кут дорівнює $\frac{(5-2)\cdot 180^{\circ }}{5}=108^{\circ }$), а всі сторони пропорційні.

Отже, два правильні п’ятикутники подібні, а коефіцієнт їхньої подібності $k$ дорівнює відношенню їхніх відповідних сторін:
$k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{2}$

2. Відношення площ подібних фігур
За теоремою про площі подібних многокутників, відношення площ двох подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта їхньої подібності:
$\frac{S_1}{S_2}=k^2={\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^2$

Підставимо задане значення відношення сторін:
$\frac{S_1}{S_2}={\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{5^2}{2^2}=\frac{25}{4}$

Отже, площі п’ятикутників відносяться як $25:4$.

Відповідь:
$25:4$.