Завдання № 3. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
З фізики відомо, що центр мас однорідної трикутної пластини міститься в точці перетину медіан. Знайдіть координати центра мас — точки $M(x;y)$ трикутника $ABC$, якщо $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$, $C(x_3;y_3)$.

Покроковий розв’язок:

1. Координати середини сторони $BC$

Нехай відрізок $AK$ — медіана трикутника $ABC$. За означенням медіани точка $K$ є серединою сторони $BC$.

Координати середини відрізка дорівнюють півсумам відповідних координат його кінців:
$x_K=\frac{x_2+x_3}{2},y_K=\frac{y_2+y_3}{2}$

Отже, точка $K$ має координати:
$K\left(\frac{x_2+x_3}{2};\frac{y_2+y_3}{2}\right)$

2. Знаходження координат центра мас (точки $M$)

За умовою точка $M$ є точкою перетину медіан $△ABC$.

За властивістю медіан трикутника точка їхнього перетину ділить кожну медіану у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини:
$\frac{AM}{MK}=\frac{2}{1}=2$

Скористаємося формулами поділу відрізка $AK$ у заданому відношенні $\lambda =2$:
$x=\frac{x_A+\lambda \cdot x_K}{1+\lambda },y=\frac{y_A+\lambda \cdot y_K}{1+\lambda }$

Підставимо значення координат точок $A$ і $K$, а також $\lambda =2$:

Для абсциси $x$:
$x=\frac{x_1+2\cdot \frac{x_2+x_3}{2}}{1+2}=\frac{x_1+(x_2+x_3)}{3}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$

Для ординати $y$:
$y=\frac{y_1+2\cdot \frac{y_2+y_3}{2}}{1+2}=\frac{y_1+(y_2+y_3)}{3}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$

Таким чином, координати центра мас трикутника $ABC$ визначаються як середнє арифметичне координат його вершин:
$M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

Відповідь:
$M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$