Завдання № 3. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть середній за величиною кут трикутника зі сторонами $3\text{ см}$, $7\text{ см}$ і $8\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення сторони, проти якої лежить шуканий кут

За співвідношенням між сторонами та кутами трикутника проти більшої сторони завжди лежить більший кут, а проти меншої сторони — менший. Відповідно, проти середньої за довжиною сторони лежить середній за величиною кут.

Порівняємо довжини сторін заданого трикутника:
$3\text{ см}<7\text{ см}<8\text{ см}$

Отже, середньою за довжиною є сторона, що дорівнює $7\text{ см}$, і шуканий кут лежить саме навпроти неї.

2. Застосування теореми косинусів

Нехай у трикутнику $ABC$ сторони мають довжини: $a=BC=3\text{ см}$, $b=AC=7\text{ см}$, $c=AB=8\text{ см}$. Тоді кут, протилежний стороні $AC$, дорівнює $\angle B$.

За теоремою косинусів для сторони $AC$:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$

Виразимо з цієї формули $\cos \angle B$:
$\cos \angle B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}$

Підставимо числові значення сторін:

3. Знаходження градусної міри кута

Оскільки кут трикутника не може перевищувати $180^{\circ }$, а $\cos \angle B=\frac{1}{2}$, маємо:
$\angle B=60^{\circ }$

Відповідь: $60^{\circ }$.