Завдання № 3. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Накресліть два протилежно напрямлених вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$, вектор $\overrightarrow{c}$, співнапрямлений з вектором $\overrightarrow{a}$, та вектор $\overrightarrow{d}$, співнапрямлений з вектором $\overrightarrow{b}$.

1) Виконайте відповідні записи за допомогою символів $\uparrow \uparrow$ і $\uparrow \downarrow$.

2) Чи є колінеарними вектори $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$?

3) Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$?

Покроковий розв’язок:

1. Побудова векторів
За означенням колінеарних векторів:

• Паралельні або розташовані на одній прямій ненульові вектори називаються колінеарними.
• Якщо вектори паралельні і мають однаковий напрямок, вони є співнапрямленими ($\uparrow \uparrow$).
• Якщо вектори паралельні і мають протилежні напрямки, вони є протилежно напрямленими ($\uparrow \downarrow$).

Побудуємо вектори на паралельних прямих відповідно до умови:

• вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{c}$ спрямуємо в один бік (вгору-вправо);
• вектори $\overrightarrow{b}$ і $\overrightarrow{d}$ спрямуємо в протилежний бік (вниз-вліво).

2. Запис співвідношень між усіма парами векторів
За умовою:

• $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$;
• $\overrightarrow{c}\uparrow \uparrow \overrightarrow{a}$;
• $\overrightarrow{d}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$.

Звідси отримуємо співвідношення між усіма парами векторів:

• між $\overrightarrow{a}$ та іншими векторами: $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$;
• між $\overrightarrow{b}$ та іншими векторами: $\overrightarrow{b}\uparrow \downarrow \overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{b}\uparrow \uparrow \overrightarrow{d}$;
• між $\overrightarrow{c}$ та $\overrightarrow{d}$: $\overrightarrow{c}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$.

3. Дослідження колінеарності векторів $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$
Оскільки вектор $\overrightarrow{c}$ колінеарний вектору $\overrightarrow{a}$, а вектор $\overrightarrow{d}$ колінеарний вектору $\overrightarrow{b}$, і при цьому прямі, що містять вектори $\overrightarrow{a}$ та $\overrightarrow{b}$, є паралельними (або збігаються), то прямі, що містять вектори $\overrightarrow{c}$ та $\overrightarrow{d}$, також є паралельними (або збігаються).
Отже, вектори $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$ є колінеарними за означенням.

4. Визначення напрямку векторів $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$
Вектор $\overrightarrow{c}$ співнапрямлений з вектором $\overrightarrow{a}$ ($\overrightarrow{c}\uparrow \uparrow \overrightarrow{a}$), а вектор $\overrightarrow{d}$ співнапрямлений з вектором $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{d}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$). Оскільки за умовою вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ напрямлені протилежно ($\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$), то й вектори $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$ мають протилежні напрямки: $\overrightarrow{c}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$.

Відповідь:

1) $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{b}\uparrow \downarrow \overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{b}\uparrow \uparrow \overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{c}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$.

2) Так, вектори $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$ є колінеарними.

3) Вектори $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$ є протилежно напрямленими ($\overrightarrow{c}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$).