Завдання № 3. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Чи можна навколо чотирикутника $KLMN$ описати коло, якщо:

1) $\angle K=60^{\circ }$, $\angle M=120^{\circ }$;

2) $\angle L=70^{\circ }$, $\angle N=130^{\circ }$?

Покроковий розв’язок:

За теоремою про вписаний чотирикутник, навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$.

У чотирикутнику $KLMN$ послідовними вершинами є $K$, $L$, $M$, $N$. Отже, протилежними є пари кутів:

• $\angle K$ та $\angle M$;
• $\angle L$ та $\angle N$.

1. Перевірка першого випадку:
Кути $\angle K$ і $\angle M$ є протилежними. Знайдемо їхню суму:
$\angle K+\angle M=60^{\circ }+120^{\circ }=180^{\circ }$
Оскільки сума однієї пари протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$, сума іншої пари також дорівнює $360^{\circ }-180^{\circ }=180^{\circ }$. Отже, навколо чотирикутника $KLMN$ можна описати коло.

2. Перевірка другого випадку:
Кути $\angle L$ і $\angle N$ є протилежними. Знайдемо їхню суму:
$\angle L+\angle N=70^{\circ }+130^{\circ }=200^{\circ }$
Оскільки $200^{\circ }\ne 180^{\circ }$, умова вписаності чотирикутника не виконується. Отже, навколо чотирикутника $KLMN$ описати коло не можна.

Відповідь:

1) Так, можна;

2) Ні, не можна.