Завдання № 3.45. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Одна зі сторін трикутника та висота, проведена до неї, дорівнюють по $20\text{ см}$. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо висота, проведена до однієї з них, дорівнює $16\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Нехай у трикутнику $ABC$ сторона $BC=20\text{ см}$, а проведена до неї висота $AK=20\text{ см}$. Висота $BN$, проведена до сторони $AC$, дорівнює $16\text{ см}$.

1. Знаходження площі трикутника та довжини сторони $AC$

Обчислимо площу трикутника $ABC$ за формулою через сторону та проведену до неї висоту:
$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AK=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 20=200{\text{ см}}^2$

Також площу можна виразити через сторону $AC$ та висоту $BN$:
$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BN$

Підставимо відомі числові значення:
$200=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 16$
$200=8\cdot AC$
$AC=\frac{200}{8}=25\text{ см}$

Отже, одна з невідомих сторін трикутника дорівнює $25\text{ см}$.

Оскільки в умові не вказано вид трикутника (гострокутний чи тупокутний), основа висоти $AK$ — точка $K$ — може належати або самій стороні $BC$, або її продовженню. Розглянемо два можливі випадки.

2. Випадок 1: Трикутник $ABC$ — гострокутний (точка $K$ лежить на відрізку $BC$)

Розглянемо прямокутний трикутник $△AKC$ ($\angle AKC=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$KC=\sqrt{A{C}^2-A{K}^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15\text{ см}$

Оскільки точка $K$ належить стороні $BC$, знайдемо довжину відрізка $BK$:
$BK=BC-KC=20-15=5\text{ см}$

З прямокутного трикутника $△ABK$ ($\angle AKB=90^{\circ }$) за теоремою Піфагора знайдемо сторону $AB$:
$AB=\sqrt{A{K}^2+B{K}^2}=\sqrt{20^2+5^2}=\sqrt{400+25}=\sqrt{425}=\sqrt{25\cdot 17}=5\sqrt{17}\text{ см}$

3. Випадок 2: Трикутник $ABC$ — тупокутний з тупим кутом при вершині $C$ (висота $AK$ проведена до продовження сторони $BC$)

З прямокутного трикутника $△AKC$ ($\angle AKC=90^{\circ }$) аналогічно знаходимо катет $CK$:
$CK=\sqrt{A{C}^2-A{K}^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15\text{ см}$

Тоді загальна довжина відрізка $BK$ дорівнює:
$BK=BC+CK=20+15=35\text{ см}$

З прямокутного трикутника $△ABK$ ($\angle AKB=90^{\circ }$) за теоремою Піфагора:
$AB=\sqrt{A{K}^2+B{K}^2}=\sqrt{20^2+35^2}=\sqrt{400+1225}=\sqrt{1625}=\sqrt{25\cdot 65}=5\sqrt{65}\text{ см}$

Відповідь:

$25\text{ см}$ і $5\sqrt{17}\text{ см}$ або $25\text{ см}$ і $5\sqrt{65}\text{ см}$.