Завдання № 3.44. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Хорда завдовжки $30\text{ см}$ перпендикулярна до діаметра і ділить його на відрізки, різниця між якими дорівнює $40\text{ см}$. Знайдіть діаметр кола.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз геометричної конфігурації

Нехай дано коло із центром $O$, діаметром $CD$ та хордою $AB$, яка перетинає діаметр $CD$ у точці $K$ під прямим кутом ($AB\perp CD$).

За теоремою про діаметр, перпендикулярний до хорди, такий діаметр ділить хорду навпіл:
$AK=KB=\frac{AB}{2}=\frac{30}{2}=15\text{ см}$

2. Складання рівняння за теоремою про перетин хорд

Нехай менший відрізок діаметра $KD=x\text{ см}$ ($x>0$). Оскільки різниця відрізків становить $40\text{ см}$, більший відрізок діаметра дорівнює:
$CK=(x+40)\text{ см}$

За теоремою про пропорційні відрізки хорд (добутки відрізків двох хорд, які перетинаються, рівні):
$AK\cdot KB=CK\cdot KD$

Підставимо відомі значення у вираз:
$15\cdot 15=(x+40)\cdot x$
$x^2+40\cdot x=225$
$x^2+40\cdot x-225=0$

(Зауважимо: цей самий результат можна отримати з прямокутного трикутника $△CAD$, де $\angle CAD=90^{\circ }$ як кут, що спирається на діаметр, а $AK$ — висота, проведена до гіпотенузи $CD$, тобто $A{K}^2=CK\cdot KD$.)

3. Розв’язування квадратного рівняння

Знайдемо корені рівняння за допомогою дискримінанта:
$D_1={\left(\frac{b}{2}\right)}^2-a\cdot c=20^2-1\cdot (-225)=400+225=625=25^2$
$x_1=-20+25=5$
$x_2=-20-25=-45$

Оскільки довжина відрізка має бути додатною ($x>0$), корінь $x=-45$ є стороннім.

Отже:
$KD=5\text{ см}$
$CK=5+40=45\text{ см}$

4. Обчислення діаметра кола

Довжина діаметра $CD$ дорівнює сумі його складових відрізків:
$CD=CK+KD=45+5=50\text{ см}$

Відповідь: $50\text{ см}$.