Завдання № 3.43. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Основи рівнобічної трапеції з кутом при основі $60^{\circ }$ дорівнюють $16\text{ см}$ і $6\text{ см}$. Знайдіть діагональ трапеції.

Покроковий розв’язок:

Нехай $ABCD$ — дана рівнобічна трапеція, де $AD\parallel BC$, $AD=16\text{ см}$, $BC=6\text{ см}$, бічні сторони $AB=CD$, а кут при більшій основі $\angle A=60^{\circ }$. Потрібно знайти довжину діагоналі $BD$.

1. Проведення висот та знаходження проєкцій

Проведемо з вершин меншої основи висоти $BK\perp AD$ та $CM\perp AD$.
Чотирикутник $KBCM$ є прямокутником, отже:
$KM=BC=6\text{ см}$

Оскільки трапеція рівнобічна, прямокутні трикутники $△ABK$ та $△DCM$ є рівними (за гіпотенузою та гострим кутом: $AB=CD$, $\angle A=\angle D=60^{\circ }$). Звідси:
$AK=MD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{16-6}{2}=5\text{ см}$

Обчислимо довжину відрізка $KD$:
$KD=AD-AK=16-5=11\text{ см}$

2. Знаходження бічної сторони та висоти трапеції

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABK$ ($\angle AKB=90^{\circ }$):
Оскільки $\angle A=60^{\circ }$, то за теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle ABK=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

За властивістю катета, що лежить проти кута $30^{\circ }$, гіпотенуза $AB$ удвічі більша за катет $AK$:
$AB=2\cdot AK=2\cdot 5=10\text{ см}$

Знайдемо квадрат висоти $BK$ за теоремою Піфагора в $△ABK$:
$B{K}^2=A{B}^2-A{K}^2=10^2-5^2=100-25=75$

3. Обчислення діагоналі $BD$

Розглянемо прямокутний трикутник $△BKD$ ($\angle BKD=90^{\circ }$).
За теоремою Піфагора:
$B{D}^2=B{K}^2+K{D}^2$

Підставимо отримані значення:
$B{D}^2=75+11^2=75+121=196$
$BD=\sqrt{196}=14\text{ см}$

(Альтернативний спосіб: у трикутнику $△ABD$ відомо $AB=10\text{ см}$, $AD=16\text{ см}$ та $\angle A=60^{\circ }$. За теоремою косинусів: $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 60^{\circ }=100+256-2\cdot 10\cdot 16\cdot \frac{1}{2}=196$, звідки $BD=14\text{ см}$).

Відповідь: $14\text{ см}$.