Завдання № 3.41. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що трикутник $KLM$ із вершинами в точках $K(6;-1)$, $L(9;-4)$ і $M(12;5)$ є прямокутним. Знайдіть гострі кути цього трикутника з точністю до мінути.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжин сторін трикутника
Для обчислення довжин сторін трикутника скористаємося формулою відстані між двома точками $A(x_1;y_1)$ та $B(x_2;y_2)$:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Обчислимо квадрати довжин та довжини сторін:

• Сторона $KL$:
  $K{L}^2=(9-6{)}^2+(-4-(-1){)}^2=3^2+(-3{)}^2=9+9=18$
  $KL=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

• Сторона $KM$:
  $K{M}^2=(12-6{)}^2+(5-(-1){)}^2=6^2+6^2=36+36=72$
  $KM=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

• Сторона $LM$:
  $L{M}^2=(12-9{)}^2+(5-(-4){)}^2=3^2+9^2=9+81=90$
  $LM=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$

2. Доведення прямокутності трикутника
Перевіримо виконання теореми, оберненої до теореми Піфагора.
Знайдемо суму квадратів двох менших сторін $KL$ та $KM$:
$K{L}^2+K{M}^2=18+72=90$
Оскільки $L{M}^2=90$, маємо:
$L{M}^2=K{L}^2+K{M}^2$

За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, $△KLM$ є прямокутним із гіпотенузою $LM$ та прямим кутом при вершині $K$ ($\angle K=90^{\circ }$).

3. Знаходження гострих кутів трикутника
Кути $\angle L$ та $\angle M$ є гострими кутами прямокутного трикутника $△KLM$.
За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника:
$\mathrm{tg}\angle L=\frac{KM}{KL}=\frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=2$

За таблицями тригонометричних функцій або за допомогою інженерного калькулятора знаходимо міру кута:
$\angle L\approx 63^{\circ }26^{\prime }$

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, кут $\angle M$ становить:
$\angle M=90^{\circ }-\angle L\approx 90^{\circ }-63^{\circ }26^{\prime }=26^{\circ }34^{\prime }$

Відповідь:
Доведено, що $△KLM$ — прямокутний ($\angle K=90^{\circ }$); гострі кути: $\angle L\approx 63^{\circ }26^{\prime }$, $\angle M\approx 26^{\circ }34^{\prime }$.