Завдання № 3.40. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що трикутник $ABC$ з вершинами в точках $A(-4;16)$, $B(6;-4)$, $C(3;-5)$ є прямокутним. Знайдіть гострі кути трикутника з точністю до хвилини.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжин сторін трикутника
Обчислимо довжини сторін трикутника за формулою відстані між двома точками $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$:

2. Доведення прямокутності трикутника
Знайдемо квадрати довжин усіх сторін трикутника:
$A{B}^2=(\sqrt{500}{)}^2=500$
$B{C}^2=(\sqrt{10}{)}^2=10$
$A{C}^2=(\sqrt{490}{)}^2=490$

Перевіримо виконання рівності для суми квадратів двох менших сторін:
$A{C}^2+B{C}^2=490+10=500$

Оскільки $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, трикутник $ABC$ є прямокутним із гіпотенузою $AB$ та прямим кутом $\angle C=90^{\circ }$.

3. Обчислення гострих кутів
Кути $\angle A$ та $\angle B$ є гострими кутами прямокутного трикутника $ABC$.
За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:
$\sin \angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\frac{10}{500}}=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}\approx 0,1414$

За таблицями значень тригонометричних функцій (або за допомогою калькулятора) знаходимо градусну міру кута $A$ з точністю до хвилини:
$\angle A\approx 8^{\circ }08^{\prime }$

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, знайдемо величину кута $B$:
$\angle B=90^{\circ }-\angle A\approx 90^{\circ }-8^{\circ }08^{\prime }=81^{\circ }52^{\prime }$

Відповідь:
Доведено; $\angle A\approx 8^{\circ }08^{\prime }$, $\angle B\approx 81^{\circ }52^{\prime }$.