Завдання № 3.39. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть значення $x$, за якого трикутник з вершинами $A(-4;0)$, $B(0;4)$, $C(x;-x)$ є рівностороннім.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення довжини сторони $AB$

За формулою відстані між двома точками обчислимо квадрат довжини сторони $AB$:
$A{B}^2=(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2$
$A{B}^2=(0-(-4){)}^2+(4-0{)}^2=4^2+4^2=16+16=32$

Звідси довжина сторони:
$AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

2. Обчислення квадратів довжин сторін $AC$ і $BC$

Знайдемо квадрати відстаней від вершин $A$ і $B$ до точки $C(x;-x)$:
$A{C}^2=(x-(-4){)}^2+(-x-0{)}^2=(x+4{)}^2+(-x{)}^2=x^2+8x+16+x^2=2x^2+8x+16$
$B{C}^2=(x-0{)}^2+(-x-4{)}^2=x^2+(-(x+4){)}^2=x^2+(x+4{)}^2=2x^2+8x+16$

Як бачимо, для будь-якого дійсного значення $x$ виконується рівність $A{C}^2=B{C}^2$ (тобто $AC=BC$). Це означає, що точка $C(x;-x)$ завжди належить серединному перпендикуляру до відрізка $AB$, а $△ABC$ є рівнобедреним з основою $AB$.

3. Знаходження значень $x$ для рівностороннього трикутника

Трикутник $ABC$ буде рівностороннім тоді й лише тоді, коли всі його сторони рівні, тобто:
$A{C}^2=A{B}^2$

Підставимо отримані вирази:
$2x^2+8x+16=32$
$2x^2+8x-16=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:
$x^2+4x-8=0$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-8)=16+32=48$
$\sqrt{D}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$

Обчислимо корені рівняння:
$x=\frac{-4\pm 4\sqrt{3}}{2}=-2\pm 2\sqrt{3}$

Отримуємо два значення:
$x_1=-2-2\sqrt{3},x_2=-2+2\sqrt{3}$

Кожному значенню $x$ відповідає точка $C$, що утворює правильний трикутник (одна по один бік від прямої $AB$, друга — по інший).

Відповідь:
$-2-2\sqrt{3}$ або $-2+2\sqrt{3}$