Завдання № 3.38. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(1;3)$, $B(-1;9)$, $C(5;7)$ і $D(7;1)$ — ромб.

Покроковий розв’язок:

Ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні (або в якого дві сусідні сторони рівні). Доведемо спочатку, що даний чотирикутник є паралелограмом, а потім покажемо рівність його сусідніх сторін.

1. Доведення того, що $ABCD$ — паралелограм

Чотирикутник є паралелограмом, якщо його діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
Діагоналями чотирикутника $ABCD$ є відрізки $AC$ та $BD$. Знайдемо координати середин цих діагоналей за формулами координат середини відрізка:
$x_0=\frac{x_1+x_2}{2},y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$

Для діагоналі $AC$ з кінцями $A(1;3)$ та $C(5;7)$ нехай точкою середини буде $O_1$:
$x_{O_1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$
$y_{O_1}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$
Отже, точка $O_1$ має координати $(3;5)$.

Для діагоналі $BD$ з кінцями $B(-1;9)$ та $D(7;1)$ нехай точкою середини буде $O_2$:
$x_{O_2}=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3$
$y_{O_2}=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5$
Отже, точка $O_2$ має координати $(3;5)$.

Координати середин діагоналей збігаються ($O_1=O_2=O(3;5)$). Це означає, що діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються в одній точці та діляться нею навпіл. За ознакою паралелограма чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом.

2. Доведення рівності сусідніх сторін

Обчислимо довжини двох сусідніх сторін $AB$ та $BC$ за формулою відстані між двома точками $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$:

$AB=\sqrt{(-1-1{)}^2+(9-3{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

$BC=\sqrt{(5-(-1){)}^2+(7-9{)}^2}=\sqrt{(5+1{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{6^2+4}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

Оскільки $AB=BC=2\sqrt{10}$, паралелограм $ABCD$ має дві рівні сусідні сторони. За ознакою ромба, якщо в паралелограма сусідні сторони рівні, то такий паралелограм є ромбом.

Отже, чотирикутник $ABCD$ — ромб, що й треба було довести.

Відповідь:
Доведено, що чотирикутник $ABCD$ є ромбом, оскільки його діагоналі точкою перетину діляться навпіл (чотирикутник є паралелограмом) і сусідні сторони рівні між собою ($AB=BC=2\sqrt{10}$).