Завдання № 3.37. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що чотирикутник $A B C D$ з вершинами в точках $A (- 4; - 1)$ , $B (- 1; 2)$ , $C (3; - 2)$ і $D (0; - 5)$ є прямокутником.

Покроковий розв’язок:

Щоб довести, що чотирикутник є прямокутником, достатньо показати, що він є паралелограмом і його діагоналі рівні.

1. Доведення того, що чотирикутник $A B C D$ — паралелограм

Чотирикутник, у якого діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, є паралелограмом. Знайдемо координати середин його діагоналей $A C$ і $B D$ за формулами координат середини відрізка:
$x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}, y = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}$

Нехай точка $O_{1}$ — середина діагоналі $A C$ :
$x_{O_{1}} = \frac{- 4 + 3}{2} = - \frac{1}{2} = - 0, 5$
$y_{O_{1}} = \frac{- 1 + ( - 2 )}{2} = - \frac{3}{2} = - 1, 5$
Отже, $O_{1} (- \frac{1}{2}; - \frac{3}{2})$ .

Нехай точка $O_{2}$ — середина діагоналі $B D$ :
$x_{O_{2}} = \frac{- 1 + 0}{2} = - \frac{1}{2} = - 0, 5$
$y_{O_{2}} = \frac{2 + ( - 5 )}{2} = - \frac{3}{2} = - 1, 5$
Отже, $O_{2} (- \frac{1}{2}; - \frac{3}{2})$ .

Координати середин діагоналей збігаються ( $O_{1} = O_{2} = O$ ). Це означає, що діагоналі $A C$ і $B D$ перетинаються в одній точці $O (- 0, 5; - 1, 5)$ і діляться нею навпіл. Отже, за ознакою паралелограма, чотирикутник $A B C D$ — паралелограм.

2. Доведення рівності діагоналей паралелограма

Паралелограм, діагоналі якого рівні, є прямокутником. Обчислимо довжини діагоналей $A C$ і $B D$ за формулою відстані між двома точками:
$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Для діагоналі $A C$ :
$A C = (3 - (- 4))^{2} + (- 2 - (- 1))^{2} = (3 + 4)^{2} + (- 2 + 1)^{2} = 7^{2} + (- 1)^{2} = 49 + 1 = 50 = 52$

Для діагоналі $B D$ :
$B D = (0 - (- 1))^{2} + (- 5 - 2)^{2} = (0 + 1)^{2} + (- 7)^{2} = 1^{2} + 49 = 1 + 49 = 50 = 52$

Оскільки $A C = B D = 52$ , діагоналі паралелограма рівні.

3. Висновок

Оскільки чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом з рівними діагоналями ( $A C = B D$ ), за ознакою прямокутника чотирикутник $A B C D$ — прямокутник, що й треба було довести.

Відповідь:
Доведено, що чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом із рівними діагоналями ( $A C = B D = 52$ ), отже, $A B C D$ — прямокутник.

Завдання № 3.37. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку