Завдання № 3.36. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що точки $P(-1;-5)$, $L(4;5)$ і $M(2;1)$ лежать на одній прямій. Яка з точок лежить між двома іншими?

Покроковий розв’язок:
Згідно з основною властивістю розташування точок на прямій, з трьох точок одна лежить між двома іншими тоді й лише тоді, коли довжина найбільшого з утворених відрізків дорівнює сумі довжин двох інших. Якщо ця рівність виконується, то всі три точки належать одній прямій.

Обчислимо довжини відрізків $PL$, $LM$ і $PM$ за формулою відстані між двома точками $A(x_1;y_1)$ і $B(x_2;y_2)$:
$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

1. Довжина відрізка $PL$:
$PL=\sqrt{(4-(-1){)}^2+(5-(-5){)}^2}=\sqrt{(4+1{)}^2+(5+5{)}^2}=\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=5\sqrt{5}$

2. Довжина відрізка $LM$:
$LM=\sqrt{(2-4{)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$

3. Довжина відрізка $PM$:
$PM=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(1-(-5){)}^2}=\sqrt{(2+1{)}^2+(1+5{)}^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$

4. Порівняння довжин відрізків:
Перевіримо виконання рівності:
$PM+LM=3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}=PL$

Оскільки сума довжин відрізків $PM$ і $LM$ дорівнює довжині відрізка $PL$, точки $P$, $M$ і $L$ лежать на одній прямій. При цьому точка $M$ лежить між точками $P$ і $L$.

Відповідь: Точки лежать на одній прямій; точка $M$ лежить між точками $P$ і $L$.