Завдання № 3.35. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що точки $A(-1;-2)$, $B(3;2)$ і $C(8;7)$ лежать на одній прямій. Яка з точок лежить між двома іншими?

Покроковий розв’язок:

Для того щоб з’ясувати, чи лежать три точки на одній прямій, знайдемо відстані між кожною парою точок за формулою відстані між двома точками $M(x_1;y_1)$ та $N(x_2;y_2)$:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

1. Обчислення довжин відрізків $AB$, $BC$ та $AC$:

• Знайдемо довжину відрізка $AB$:
  $AB=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(2-(-2){)}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$

• Знайдемо довжину відрізка $BC$:
  $BC=\sqrt{(8-3{)}^2+(7-2{)}^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$

• Знайдемо довжину відрізка $AC$:
  $AC=\sqrt{(8-(-1){)}^2+(7-(-2){)}^2}=\sqrt{9^2+9^2}=\sqrt{81+81}=\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}$

2. Перевірка умови належності точок одній прямій:

За основною властивістю взаємного розміщення точок на прямій, з трьох точок одна лежить між двома іншими тоді й лише тоді, коли довжина найбільшого з утворених відрізків дорівнює сумі довжин двох менших.

Порівняємо суму менших відрізків $AB$ та $BC$ з довжиною відрізка $AC$:
$AB+BC=4\sqrt{2}+5\sqrt{2}=9\sqrt{2}$
$AC=9\sqrt{2}$

Оскільки рівність $AC=AB+BC$ виконується, то точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій, причому точка $B$ лежить між точками $A$ і $C$.

Відповідь: точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій; точка $B$ лежить між точками $A$ і $C$.