Завдання № 3.34. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано точки $P (5; 0)$ і $N (13; 6)$ . Знайдіть координати точки $D$ , яка ділить відрізок $P N$ у відношенні $3 : 1$ , починаючи від точки $P$ .

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний аналіз умови
Точка $D$ ділить відрізок $P N$ у відношенні $P D : D N = 3 : 1$ , тобто весь відрізок $P N$ складається з $3 + 1 = 4$ рівних частин.
Відрізок $P D$ становить $\frac{3}{4}$ довжини відрізка $P N$ , а відрізок $D N$ — $\frac{1}{4}$ його довжини.

Це означає, що точку $D$ можна визначити поетапно через середини відрізків:

1) Нехай точка $K$ — середина всього відрізка $P N$ . Вона ділить його навпіл: $P K = K N = \frac{2}{4} P N$ .

2) Точка $D$ розташована на відрізку $K N$ і ділить його навпіл, оскільки від точки $P$ до точки $D$ має бути $\frac{3}{4} P N$ ( $2$ частини від $P$ до $K$ та ще $1$ частина від $K$ до $D$ ). Отже, точка $D$ є серединою відрізка $K N$ .

2. Знаходження координат середини відрізка $P N$ (точки $K$ )
Координати середини відрізка обчислюються як середнє арифметичне відповідних координат його кінців:

x_{K} = \frac{x _{P} + x _{N}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9

y_{K} = \frac{y _{P} + y _{N}}{2} = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3

Отже, точка $K$ має координати $(9; 3)$ .

3. Знаходження координат точки $D$
Оскільки шукана точка $D$ є серединою відрізка $K N$ , застосуємо формули координат середини відрізка для точок $K (9; 3)$ та $N (13; 6)$ :

x_{D} = \frac{x _{K} + x _{N}}{2} = \frac{9 + 13}{2} = \frac{22}{2} = 11

y_{D} = \frac{y _{K} + y _{N}}{2} = \frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2} = 4, 5

Таким чином, точка $D$ має координати $(11; 4, 5)$ .

Відповідь:
$(11; 4, 5)$

Завдання № 3.34. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку