Завдання № 3.33. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано точки $A(2;3)$ і $B(8;11)$. Знайдіть координати точки $N$, яка ділить відрізок $AB$ у відношенні $1:3$, починаючи від точки $A$.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний аналіз розташування точки $N$

За умовою точка $N$ належить відрізку $AB$ і ділить його у відношенні $AN:NB=1:3$.
Це означає, що весь відрізок $AB$ складається з $1+3=4$ рівних частин, а довжина відрізка $AN$ становить одну четверту довжини всього відрізка:
$AN=\frac{1}{4}AB$

Нехай точка $M$ — середина відрізка $AB$. Тоді:
$AM=\frac{1}{2}AB$

Оскільки $AN=\frac{1}{4}AB$, а $AM=\frac{1}{2}AB$, маємо:
$AN=\frac{1}{2}AM$

Отже, точка $N$ є серединою відрізка $AM$.

2. Знаходження координат середини відрізка $AB$ (точки $M$)

Координати середини відрізка обчислюються як півсума відповідних координат його кінців:
$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$
$y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{3+11}{2}=\frac{14}{2}=7$

Таким чином, середина відрізка $AB$ має координати $M(5;7)$.

3. Знаходження координат точки $N$

Оскільки точка $N$ є серединою відрізка $AM$, застосуємо формули координат середини відрізка для точок $A(2;3)$ та $M(5;7)$:
$x_N=\frac{x_A+x_M}{2}=\frac{2+5}{2}=\frac{7}{2}=3,5$
$y_N=\frac{y_A+y_M}{2}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$

Отже, шукана точка має координати $N(3,5;5)$.

Відповідь: $N(3,5;5)$.