Завдання № 3.32. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть на осі ординат точку, рівновіддалену від точок $A(3;1)$ і $B(7;5)$.

Покроковий розв’язок:

1. Координати шуканої точки
Оскільки шукана точка лежить на осі ординат ($Oy$), її абсциса дорівнює нулю. Позначимо цю точку як $C(0;y)$.

2. Формула відстані між двома точками
Відстань $d$ між точками $(x_1;y_1)$ та $(x_2;y_2)$ обчислюється за формулою:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
Квадрат відстані дорівнює:
$d^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$

3. Складання рівняння
За умовою точка $C$ рівновіддалена від точок $A$ і $B$, тобто $AC=BC$, а отже, $A{C}^2=B{C}^2$.

Знайдемо вирази для квадратів відстаней:
$A{C}^2=(3-0{)}^2+(1-y{)}^2=3^2+(y-1{)}^2=9+y^2-2y+1=y^2-2y+10$
$B{C}^2=(7-0{)}^2+(5-y{)}^2=7^2+(y-5{)}^2=49+y^2-10y+25=y^2-10y+74$

Прирівняємо отримані вирази:
$y^2-2y+10=y^2-10y+74$

4. Розв’язання рівняння
Зведемо подібні доданки:

Отже, ордината шуканої точки дорівнює $8$, а її координати — $(0;8)$.

Відповідь:
$(0;8)$ (або точка $C(0;8)$).