Завдання № 3.31. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть на осі абсцис точку, рівновіддалену від точок $M(2;5)$ і $N(4;1)$.

Покроковий розв’язок:

1. Координати шуканої точки
Оскільки шукана точка лежить на осі абсцис (осі $Ox$), її ордината дорівнює нулю. Позначимо цю точку як $K(x;0)$.

2. Застосування формули відстані між двома точками
Відстань $d$ між двома точками $A(x_1;y_1)$ та $B(x_2;y_2)$ обчислюється за формулою:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Знайдемо довжини відрізків $MK$ та $NK$:
$MK=\sqrt{(x-2{)}^2+(0-5{)}^2}=\sqrt{(x-2{)}^2+25}$
$NK=\sqrt{(x-4{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{(x-4{)}^2+1}$

3. Складання та розв’язування рівняння
За умовою точка $K$ є рівновіддаленою від точок $M$ і $N$, отже, $MK=NK$, а відповідно і $M{K}^2=N{K}^2$.

Складемо рівняння:
$(x-2{)}^2+25=(x-4{)}^2+1$

Розкриємо дужки за формулами квадрата різниці:
$x^2-4x+4+25=x^2-8x+16+1$
$x^2-4x+29=x^2-8x+17$

Перенесемо доданки зі змінною $x$ у ліву частину, а числові доданки — у праву:
$-4x+8x=17-29$
$4x=-12$
$x=\frac{-12}{4}$
$x=-3$

Таким чином, абсциса шуканої точки дорівнює $-3$, а сама точка має координати $K(-3;0)$.

Відповідь:
$(-3;0)$