Завдання № 3.29. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відстань між точками $A(5;7)$ і $B(-3;y)$ дорівнює $17$. Знайдіть $y$.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування формули відстані між двома точками
Відстань $d$ між двома точками $A(x_1;y_1)$ та $B(x_2;y_2)$ на координатній площині визначається за формулою:
$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Підставимо у формулу координати точок $A(5;7)$ і $B(-3;y)$, а також довжину відрізка $AB=17$:
$\sqrt{(-3-5{)}^2+(y-7{)}^2}=17$

2. Спрощення та піднесення до квадрата
Обчислимо значення виразу в перших дужках:
$-3-5=-8$
$(-8{)}^2=64$

Отримуємо ірраціональне рівняння:
$\sqrt{64+(y-7{)}^2}=17$

Оскільки обидві частини рівняння невід’ємні, піднесемо їх до другого степеня:
$64+(y-7{)}^2=17^2$
$64+(y-7{)}^2=289$

Звідси знайдемо значення виразу $(y-7{)}^2$:
$(y-7{)}^2=289-64$
$(y-7{)}^2=225$

3. Знаходження невідомої координати $y$
Рівняння виду $X^2=225$ має два розв’язки: $X=15$ або $X=-15$.

Розглянемо обидва випадки:

1) $y-7=15$
$y=15+7$
$y=22$

2) $y-7=-15$
$y=-15+7$
$y=-8$

Отже, шукана ордината точки $B$ може дорівнювати $22$ або $-8$.

Відповідь:
$y=22$ або $y=-8$.