Завдання № 3.28. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$ABCD$ — квадрат, $A(4;5)$, $B(10;-3)$. Знайдіть довжину діагоналі квадрата.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжини сторони квадрата

За координатами вершин $A(4;5)$ та $B(10;-3)$ обчислимо довжину сторони квадрата $AB$ за формулою відстані між двома точками:
$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$

Підставимо значення координат:
$AB=\sqrt{(10-4{)}^2+(-3-5{)}^2}=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

Отже, сторона квадрата дорівнює $10$.

2. Знаходження довжини діагоналі квадрата

Усі сторони квадрата рівні між собою ($AB=BC=10$), а кут між суміжними сторонами дорівнює $90^{\circ }$.

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$), де $AC$ — діагональ квадрата і гіпотенуза трикутника. За теоремою Піфагора:
$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$
$AC=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$

(Також довжину можна знайти за властивістю діагоналі квадрата зі стороною $a$: $d=a\sqrt{2}=10\sqrt{2}$).

Відповідь:
$10\sqrt{2}$