Завдання № 3.27. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Чотирикутник $ABCD$ — квадрат, відомі координати двох його протилежних вершин: $A(-2;4)$ і $C(4;10)$. Знайдіть периметр цього квадрата.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжини діагоналі квадрата

Точки $A(-2;4)$ та $C(4;10)$ є протилежними вершинами квадрата $ABCD$, отже, відрізок $AC$ є його діагоналлю.

За формулою відстані між двома точками із заданими координатами:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Обчислимо довжину діагоналі $AC$:
$AC=\sqrt{(4-(-2){)}^2+(10-4{)}^2}=\sqrt{(4+2{)}^2+6^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}$

2. Обчислення довжини сторони квадрата

Нехай сторона квадрата дорівнює $a$ ($AB=BC=a$).

Оскільки у квадраті всі кути прямі, розглянемо прямокутний трикутник $△ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$
$a^2+a^2=(\sqrt{72}{)}^2$
$2\cdot a^2=72$
$a^2=\frac{72}{2}=36$
$a=\sqrt{36}=6$

Отже, сторона квадрата дорівнює $6$.

3. Знаходження периметра квадрата

Периметр квадрата дорівнює сумі довжин усіх чотирьох його рівних сторін:
$P=4\cdot a=4\cdot 6=24$

Відповідь: $24$