Завдання № 3.24. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть довжину відрізка $M N$ , кінці якого лежать на осях координат, а серединою його є точка $A (8; - 15)$ .

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат кінців відрізка
Оскільки кінці відрізка $M N$ лежать на осях координат, позначимо їхні координати:

точка $M$ лежить на осі абсцис ( $O x$ ), тому її координати: $M (x; 0)$ ;
точка $N$ лежить на осі ординат ( $O y$ ), тому її координати: $N (0; y)$ .

2. Знаходження координат точок $M$ і $N$ за формулою середини відрізка
За умовою точка $A (8; - 15)$ є серединою відрізка $M N$ .
Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців:
$x_{A} = \frac{x _{M} + x _{N}}{2}, y_{A} = \frac{y _{M} + y _{N}}{2}$

Підставимо відомі значення координат точки $A$ та точок $M$ і $N$ :
$\frac{x + 0}{2} = 8 ⟹ x = 8 \cdot 2 = 16$
$\frac{0 + y}{2} = - 15 ⟹ y = - 15 \cdot 2 = - 30$

Отже, кінці відрізка мають координати: $M (16; 0)$ та $N (0; - 30)$ .

3. Обчислення довжини відрізка $M N$
Довжину відрізка обчислимо за формулою відстані між двома точками:
$M N = (x_{N} - x_{M})^{2} + (y_{N} - y_{M})^{2}$

Підставимо отримані координати:

M N = (0 - 16)^{2} + (- 30 - 0)^{2} = (- 16)^{2} + (- 30)^{2} = 256 + 900 = 1156 = 34

(Геометрична примітка: у прямокутному трикутнику $M O N$ з прямим кутом $∠ M O N = 9 0^{\circ}$ відрізок $O A$ є медіаною, проведеною до гіпотенузи $M N$ . Оскільки довжина медіани дорівнює $O A = 8^{2} + (- 15)^{2} = 64 + 225 = 17$ , то гіпотенуза $M N = 2 \cdot O A = 2 \cdot 17 = 34$ ).

Відповідь:
$34$

Завдання № 3.24. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку