Завдання № 3.23. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть довжину відрізка $AB$, кінці якого лежать на осях координат, а серединою його є точка $N(-5;12)$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат кінців відрізка

Оскільки точка $N(-5;12)$ має обидві ненульові координати, кінці відрізка $AB$ не можуть лежати на одній і тій самій координатній осі. Отже, одна точка лежить на осі абсцис ($Ox$), а інша — на осі ординат ($Oy$).

Нехай точка $A$ лежить на осі $Ox$, а точка $B$ — на осі $Oy$. Тоді їхні координати мають вигляд:
$A(x;0)$, $B(0;y)$.

2. Знаходження координат точок $A$ і $B$

Точка $N(-5;12)$ є серединою відрізка $AB$. За формулами координат середини відрізка:
$x_N=\frac{x_A+x_B}{2},y_N=\frac{y_A+y_B}{2}$

Підставимо відомі значення:
$\frac{x+0}{2}=-5⟹x=2\cdot (-5)=-10$
$\frac{0+y}{2}=12⟹y=2\cdot 12=24$

Таким чином, кінці відрізка мають координати: $A(-10;0)$ та $B(0;24)$.

3. Обчислення довжини відрізка $AB$

За формулою відстані між двома точками:
$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$

Підставимо знайдені координати:

(Геометричне зауваження: трикутник $AOB$ є прямокутним з прямим кутом при початку координат $O(0;0)$, а відрізок $ON$ — його медіаною, проведеною до гіпотенузи. Оскільки довжина медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то $ON=\sqrt{(-5{)}^2+12^2}=13$, звідки $AB=2\cdot ON=2\cdot 13=26$).

Відповідь: $26$.