Завдання № 3.20. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Чи є чотирикутник $A B C D$ паралелограмом, якщо:

1) $A (- 7; - 2)$ , $B (- 5; 4)$ , $C (5; 2)$ , $D (3; - 4)$ ;

2) $A (2; 6)$ , $B (3; 1)$ , $C (- 3; 0)$ , $D (- 4; 4)$ ?

Покроковий розв’язок:
За ознакою паралелограма, якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник є паралелограмом.
Тобто чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом тоді й лише тоді, коли середини його діагоналей $A C$ і $B D$ збігаються.

Координати середини $(x_{0}; y_{0})$ відрізка з кінцями $(x_{1}; y_{1})$ та $(x_{2}; y_{2})$ знаходять за формулами:
$x_{0} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}, y_{0} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}$

1. Перевірка для першого набору точок:
Нехай точка $M$ — середина діагоналі $A C$ , а точка $N$ — середина діагоналі $B D$ .

Обчислимо координати точки $M$ для діагоналі $A C$ :
$x_{M} = \frac{- 7 + 5}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$
$y_{M} = \frac{- 2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Отже, точка $M$ має координати $(- 1; 0)$ .

Обчислимо координати точки $N$ для діагоналі $B D$ :
$x_{N} = \frac{- 5 + 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$
$y_{N} = \frac{4 + ( - 4 )}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Отже, точка $N$ має координати $(- 1; 0)$ .

Оскільки координати точок $M$ і $N$ однакові, середини діагоналей $A C$ і $B D$ збігаються (діагоналі діляться точкою перетину навпіл). Отже, чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом.

2. Перевірка для другого набору точок:
Нехай точка $K$ — середина діагоналі $A C$ , а точка $P$ — середина діагоналі $B D$ .

Обчислимо координати точки $K$ для діагоналі $A C$ :
$x_{K} = \frac{2 + ( - 3 )}{2} = \frac{- 1}{2} = - 0, 5$
$y_{K} = \frac{6 + 0}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Отже, точка $K$ має координати $(- 0, 5; 3)$ .

Обчислимо координати точки $P$ для діагоналі $B D$ :
$x_{P} = \frac{3 + ( - 4 )}{2} = \frac{- 1}{2} = - 0, 5$
$y_{P} = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2, 5$
Отже, точка $P$ має координати $(- 0, 5; 2, 5)$ .

Оскільки ординати точок $K$ і $P$ не рівні ( $3 \neq = 2, 5$ ), середини діагоналей не збігаються. Отже, діагоналі чотирикутника не діляться точкою перетину навпіл, тому чотирикутник $A B C D$ не є паралелограмом.

Відповідь:

1) Так, є паралелограмом;

2) Ні, не є паралелограмом.

Завдання № 3.20. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку