Завдання № 3.19. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Точки $A (3; - 8)$ , $B (0; 11)$ , $C (1; - 12)$ — вершини паралелограма $A B C D$ . Знайдіть координати його четвертої вершини $D$ .

Покроковий розв’язок:

1. Використання властивості діагоналей паралелограма

За властивістю паралелограма, його діагоналі $A C$ і $B D$ перетинаються в одній точці $O$ і діляться цією точкою навпіл. Отже, точка $O$ є спільною серединою як діагоналі $A C$ , так і діагоналі $B D$ .

2. Знаходження координат точки $O$ — середини діагоналі $A C$

Координати середини відрізка обчислюються як середнє арифметичне відповідних координат його кінців. Для відрізка $A C$ , де $A (3; - 8)$ та $C (1; - 12)$ :

x_{O} = \frac{x _{A} + x _{C}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2

y_{O} = \frac{y _{A} + y _{C}}{2} = \frac{- 8 + ( - 12 )}{2} = \frac{- 20}{2} = - 10

Таким чином, середина діагоналі $A C$ має координати $O (2; - 10)$ .

3. Знаходження координат вершини $D$

Нехай точка $D$ має координати $(x; y)$ . Оскільки точка $O (2; - 10)$ є також серединою діагоналі $B D$ , де $B (0; 11)$ , запишемо формули для координат середини відрізка $B D$ :

x_{O} = \frac{x _{B} + x _{D}}{2} ⟹ 2 = \frac{0 + x}{2}

x = 2 \cdot 2 = 4

y_{O} = \frac{y _{B} + y _{D}}{2} ⟹ - 10 = \frac{11 + y}{2}

Помножимо обидві частини рівняння на $2$ :

- 20 = 11 + y

y = - 20 - 11 = - 31

Отже, координати четвертої вершини паралелограма: $D (4; - 31)$ .

Відповідь: $(4; - 31)$

Завдання № 3.19. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку