Завдання № 3.18. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Точки $K(-4;2)$, $L(3;5)$, $M(2;8)$ — вершини паралелограма $KLMN$. Знайдіть координати його четвертої вершини.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість діагоналей паралелограма
У паралелограмі $KLMN$ вершини слідують послідовно, тому його діагоналями є відрізки $KM$ та $LN$.
За властивістю паралелограма діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Отже, точка перетину діагоналей $O$ є спільною серединою відрізків $KM$ та $LN$.

2. Знаходження координат точки перетину діагоналей $O$
Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців. Знайдемо координати точки $O(x_O;y_O)$ як середини діагоналі $KM$, кінці якої мають координати $K(-4;2)$ та $M(2;8)$:
$x_O=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$
$y_O=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$

Таким чином, середина діагоналей має координати $O(-1;5)$.

3. Обчислення координат четвертої вершини $N$
Оскільки точка $O$ також є серединою діагоналі $LN$, де $L(3;5)$ та $N(x;y)$, запишемо формули для обчислення координат середини відрізка:
$\frac{3+x}{2}=-1⟹3+x=-2⟹x=-5$
$\frac{5+y}{2}=5⟹5+y=10⟹y=5$

Отже, координати шуканої вершини — $N(-5;5)$.

Відповідь:
$N(-5;5)$.