Завдання № 3.17. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що чотирикутник $KLMN$ з вершинами в точках $K(-2;8)$, $L(3;-3)$, $M(6;2)$ і $N(1;13)$ є паралелограмом.

Покроковий розв’язок:

За ознакою паралелограма: якщо в чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник є паралелограмом.

У чотирикутнику $KLMN$ діагоналями є відрізки $KM$ та $LN$. Знайдемо координати середин цих діагоналей за формулами координат середини відрізка:
$x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2}$

1. Координати середини діагоналі $KM$

Нехай точка $O_1$ — середина діагоналі $KM$. Її координати дорівнюють:
$x_{O_1}=\frac{x_K+x_M}{2}=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$
$y_{O_1}=\frac{y_K+y_M}{2}=\frac{8+2}{2}=\frac{10}{2}=5$

Отже, точка $O_1$ має координати $(2;5)$.

2. Координати середини діагоналі $LN$

Нехай точка $O_2$ — середина діагоналі $LN$. Її координати дорівнюють:
$x_{O_2}=\frac{x_L+x_N}{2}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$
$y_{O_2}=\frac{y_L+y_N}{2}=\frac{-3+13}{2}=\frac{10}{2}=5$

Отже, точка $O_2$ має координати $(2;5)$.

3. Висновок

Координати точок $O_1$ і $O_2$ збігаються:
$O_1(2;5)=O_2(2;5)=O(2;5)$

Це означає, що діагоналі $KM$ і $LN$ мають спільну середину $O(2;5)$, тобто вони перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Отже, за ознакою паралелограма, чотирикутник $KLMN$ — паралелограм, що й треба було довести.

Відповідь:
Доведено, що середини діагоналей $KM$ та $LN$ збігаються в точці $O(2;5)$, отже чотирикутник $KLMN$ є паралелограмом.