Завдання № 3.16. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(2;-5)$, $B(-7;0)$, $C(-6;1)$, $D(3;-4)$ є паралелограмом.

Покроковий розв’язок:
За ознакою паралелограма: якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник є паралелограмом.

Діагоналями чотирикутника $ABCD$ є відрізки $AC$ і $BD$. Знайдемо координати середин цих відрізків за формулами координат середини відрізка:
$x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2}$

1. Знайдемо координати середини діагоналі $AC$

Нехай точка $O_1$ — середина діагоналі $AC$. Оскільки $A(2;-5)$ та $C(-6;1)$:
$x_{O_1}=\frac{2+(-6)}{2}=\frac{-4}{2}=-2$
$y_{O_1}=\frac{-5+1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

Отже, середина відрізка $AC$ має координати $O_1(-2;-2)$.

2. Знайдемо координати середини діагоналі $BD$

Нехай точка $O_2$ — середина діагоналі $BD$. Оскільки $B(-7;0)$ та $D(3;-4)$:
$x_{O_2}=\frac{-7+3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$
$y_{O_2}=\frac{0+(-4)}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

Отже, середина відрізка $BD$ має координати $O_2(-2;-2)$.

3. Висновок

Координати точок $O_1$ та $O_2$ збігаються:
$O_1(-2;-2)=O_2(-2;-2)=O(-2;-2)$

Це означає, що діагоналі $AC$ і $BD$ мають спільну середину — точку $O$, тобто вони перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Отже, за ознакою паралелограма, чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом.

Відповідь:
Доведено. Чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом, оскільки його діагоналі $AC$ і $BD$ мають спільну точку середини $O(-2;-2)$, тобто перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.