Завдання № 3.15. § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Точки $K(-2;2)$, $L(3;-4)$ та $M(4;7)$ є вершинами трикутника $KLM$. Доведіть, що трикутник $KLM$ є рівнобедреним.

Покроковий розв’язок:

Трикутник називають рівнобедреним, якщо дві його сторони мають однакову довжину. Знайдемо довжини всіх трьох сторін трикутника $KLM$ за формулою відстані між двома точками $A(x_1;y_1)$ і $B(x_2;y_2)$:
$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

1. Обчислення довжини сторони $KL$
$KL=\sqrt{(3-(-2){)}^2+(-4-2{)}^2}=\sqrt{(3+2{)}^2+(-6{)}^2}=\sqrt{5^2+36}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}$

2. Обчислення довжини сторони $LM$
$LM=\sqrt{(4-3{)}^2+(7-(-4){)}^2}=\sqrt{1^2+(7+4{)}^2}=\sqrt{1^2+11^2}=\sqrt{1+121}=\sqrt{122}$

3. Обчислення довжини сторони $KM$
$KM=\sqrt{(4-(-2){)}^2+(7-2{)}^2}=\sqrt{(4+2{)}^2+5^2}=\sqrt{6^2+25}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$

4. Висновок
Порівняємо довжини сторін трикутника:
$KL=KM=\sqrt{61}$
Оскільки дві сторони трикутника рівні між собою ($KL=KM$), то за означенням $△KLM$ є рівнобедреним з основою $LM$. Твердження доведено.

Відповідь:
$KL=KM=\sqrt{61}$, тому $△KLM$ — рівнобедрений з основою $LM$, що й треба було довести.