Завдання № 29. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Доведіть, що вектор $p = b (a \cdot c) - c (a \cdot b)$ перпендикулярний до вектора $a$ .

Покроковий розв’язок:
Для того щоб довести, що вектор $p$ перпендикулярний до вектора $a$ , достатньо показати, що їхній скалярний добуток дорівнює нулю: $p \cdot a = 0$ .

1. Підстановка виразу для вектора $p$
Запишемо скалярний добуток векторів $p$ та $a$ :

p \cdot a = (b (a \cdot c) - c (a \cdot b)) \cdot a

2. Застосування властивостей скалярного добутку
Скалярні добутки $(a \cdot c)$ та $(a \cdot b)$ є дійсними числами (скалярами).

Скористаємося розподільною та сполучною властивостями скалярного добутку:

p \cdot a = (a \cdot c) \cdot (b \cdot a) - (a \cdot b) \cdot (c \cdot a)

3. Спрощення виразу
Оскільки скалярний добуток векторів має переставну (комутативну) властивість:

b \cdot a = a \cdot b та c \cdot a = a \cdot c

Підставимо ці рівності у вираз:

p \cdot a = (a \cdot c) \cdot (a \cdot b) - (a \cdot b) \cdot (a \cdot c) = 0

Оскільки скалярний добуток $p \cdot a = 0$ , за означенням вектор $p$ перпендикулярний до вектора $a$ ( $p ⊥ a$ ). Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено, що $p ⊥ a$ .

Завдання № 29. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку