Завдання № 29. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Точки $A$ і $B$ лежать по один бік від прямої $l$. Знайдіть на цій прямій таку точку $C$, щоб значення суми $AC+CB$ було найменшим.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний аналіз задачі
Нехай $X$ — довільна точка прямої $l$. Нам необхідно знайти таке положення точки $X=C$, за якого довжина ламаної $AX+XB$ набуває мінімального значення. Оскільки точки $A$ і $B$ лежать по один бік від прямої $l$, безпосередньо з’єднати їх прямолінійним відрізком, що перетинає пряму $l$, неможливо. Для розв’язання цієї класичної задачі (відомої як задача Герона про найкоротший шлях) застосовують осьову симетрію відносно прямої $l$.

2. Побудова шуканої точки

1) Побудуємо точку $B^{\prime }$, симетричну точці $B$ відносно прямої $l$. Для цього проведемо з точки $B$ перпендикуляр до прямої $l$, продовжимо його за пряму та відкладемо відрізок такої самої довжини.

2) Сполучимо точки $A$ і $B^{\prime }$ відрізком $A{B}^{\prime }$.

3) Оскільки точки $A$ і $B^{\prime }$ лежать по різні боки від прямої $l$, відрізок $A{B}^{\prime }$ перетинає пряму $l$. Позначимо точку їхнього перетину як $C$.

4) Точка $C$ є шуканою. Сполучимо точку $C$ із точкою $B$.

3. Доведення мінімальності суми
За означенням осьової симетрії відносно прямої $l$, пряма $l$ є серединним перпендикуляром до відрізка $B{B}^{\prime }$. Будь-яка точка серединного перпендикуляра рівновіддалена від кінців цього відрізка, отже, для будь-якої точки $X\in l$ виконується рівність:
$XB=X{B}^{\prime }$

Зокрема, для знайденої точки $C$:
$CB=C{B}^{\prime }$

Звідси шукана сума дорівнює довжині відрізка:
$AC+CB=AC+C{B}^{\prime }=A{B}^{\prime }$

Для будь-якої іншої точки $X$ прямої $l$ ($X\ne C$), розглянувши $△AX{B}^{\prime }$, за нерівністю трикутника маємо:
$AX+XB=AX+X{B}^{\prime }>A{B}^{\prime }$

Отже, сума $AC+CB$ є найменшою з усіх можливих і дорівнює довжині відрізка $A{B}^{\prime }$.

Відповідь: Шукана точка $C$ є точкою перетину прямої $l$ і відрізка $A{B}^{\prime }$, де $B^{\prime }$ — точка, симетрична точці $B$ відносно прямої $l$.