Завдання № 29. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть довжину кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника з основою $8\text{ см}$ і бічною стороною $5\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано рівнобедрений трикутник $△ABC$, у якого бічні сторони $AB=BC=5\text{ см}$, а основа $AC=8\text{ см}$.

1. Обчислення висоти та площі трикутника

Проведемо з вершини $B$ висоту $BH\perp AC$.
Оскільки трикутник $△ABC$ є рівнобедреним, висота, проведена до основи, є також його медіаною:
$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}.$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\text{ см}.$

Обчислимо площу трикутника $△ABC$:
$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3=12{\text{ см}}^2.$

2. Знаходження радіуса описаного кола

Радіус кола $R$, описаного навколо трикутника зі сторонами $a$, $b$, $c$ та площею $S$, обчислюється за формулою:
$R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4S}.$

Підставимо значення сторін трикутника та його площі:
$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\frac{5\cdot 5\cdot 8}{4\cdot 12}=\frac{200}{48}=\frac{25}{6}\text{ см}.$

3. Обчислення довжини описаного кола

Довжина кола $C$ обчислюється за формулою $C=2\pi R$:
$C=2\cdot \pi \cdot \frac{25}{6}=\frac{25\pi }{3}\text{ см}.$

Відповідь: $\frac{25\pi }{3}\text{ см}$.