Завдання № 29. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Два кути трикутника дорівнюють $α$ і $β$ . Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює $R$ . Знайдіть периметр трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження третього кута трикутника

Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює $18 0^{\circ}$ . Нехай у $△ A B C$ кути $∠ A = α$ , $∠ B = β$ . Тоді третій кут $∠ C$ дорівнює:
$∠ C = 18 0^{\circ} - (α + β)$

2. Знаходження сторін за теоремою синусів

За узагальненою теоремою синусів відношення будь-якої сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного кола ( $2 R$ ):
$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin ∠ C} = 2 R$

Звідси виразимо довжини всіх трьох сторін трикутника:
$a = 2 R \cdot sin α$
$b = 2 R \cdot sin β$
$c = 2 R \cdot sin (18 0^{\circ} - (α + β))$

3. Спрощення виразу для третьої сторони

За формулою зведення $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ , тому:
$sin (18 0^{\circ} - (α + β)) = sin (α + β)$

Отже, третя сторона дорівнює:
$c = 2 R \cdot sin (α + β)$

4. Обчислення периметра трикутника

Периметр $P$ трикутника дорівнює сумі довжин усіх його сторін:
$P = a + b + c$

Підставимо знайдені вирази:
$P = 2 R \cdot sin α + 2 R \cdot sin β + 2 R \cdot sin (α + β)$

Винесемо спільний множник $2 R$ за дужки:
$P = 2 R (sin α + sin β + sin (α + β))$

Відповідь:
$2 R (sin α + sin β + sin (α + β))$

Завдання № 29. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку