Завдання № 29. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Основи трапеції дорівнюють $12\text{ см}$ і $20\text{ см}$. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три частини. Знайдіть довжини цих частин.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано трапецію $ABCD$, у якій основи $BC=12\text{ см}$ та $AD=20\text{ см}$ ($BC\parallel AD$).
Відрізок $MN$ — середня лінія трапеції, де $M$ — середина бічної сторони $AB$, а $N$ — середина бічної сторони $CD$.
Діагоналі $AC$ і $BD$ перетинають середню лінію $MN$ у точках $K$ і $P$ відповідно. Тоді середня лінія ділиться на три частини: $MK$, $KP$ та $PN$.

1. Довжина відрізка $MK$

Розглянемо трикутник $△ABC$:

• Точка $M$ є серединою сторони $AB$ за означенням середньої лінії трапеції.
• Оскільки середня лінія трапеції паралельна основам ($MN\parallel BC$), то й відрізок $MK\parallel BC$.
• За теоремою Фалеса пряма, що проходить через середину сторони $AB$ паралельно $BC$, ділить сторону $AC$ навпіл, отже, точка $K$ є серединою діагоналі $AC$.

Таким чином, відрізок $MK$ є середньою лінією трикутника $△ABC$, паралельною стороні $BC$:
$MK=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}$

2. Довжина відрізка $PN$

Аналогічно розглянемо трикутник $△BCD$:

• Точка $N$ є серединою сторони $CD$.
• Відрізок $PN$ лежить на прямій $MN$, тому $PN\parallel BC$.
• Отже, за теоремою Фалеса точка $P$ є серединою діагоналі $BD$, а відрізок $PN$ є середньою лінією трикутника $△BCD$:
  $PN=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}$

3. Довжина відрізка $KP$

Середня лінія трапеції $MN$ дорівнює півсумі її основ:
$MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{12+20}{2}=\frac{32}{2}=16\text{ см}$

Середня частина $KP$ дорівнює різниці довжини всієї середньої лінії та двох знайдених бічних частин:
$KP=MN-(MK+PN)=16-(6+6)=16-12=4\text{ см}$

Отже, діагоналі ділять середню лінію на частини довжиною $6\text{ см}$, $4\text{ см}$ та $6\text{ см}$.

Відповідь: $6\text{ см}$, $4\text{ см}$, $6\text{ см}$.