Завдання № 29.9. § 29. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть об’єм та площу повної поверхні прямої призми, основа якої — рівнобічна трапеція з основами $16\text{ см}$ і $6\text{ см}$ та бічною стороною $13\text{ см}$, а бічне ребро призми дорівнює $20\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано пряму призму, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з основами $a=16\text{ см}$, $b=6\text{ см}$ і бічною стороною $c=13\text{ см}$. Висота прямої призми дорівнює довжині її бічного ребра: $H=20\text{ см}$.

1. Знаходження висоти трапеції

У рівнобічній трапеції висоти, опущені з кінців меншої основи на більшу основу, відтинають два рівні прямокутні трикутники. Довжина відрізка більшої основи, що є проєкцією бічної сторони, дорівнює піврізниці основ:
$x=\frac{a-b}{2}=\frac{16-6}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}$

Розглянемо прямокутний трикутник, утворений бічною стороною трапеції (гіпотенуза), її висотою $h$ та проєкцією $x$ (катети). За теоремою Піфагора:
$h^2+x^2=c^2$
$h=\sqrt{c^2-x^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}$

2. Обчислення площі основи

Основою призми є рівнобічна трапеція. Площа трапеції обчислюється як добуток півсуми її основ на висоту:
$S_{\text{осн}}=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{16+6}{2}\cdot 12=11\cdot 12=132{\text{ см}}^2$

3. Знаходження об’єму призми

Об’єм прямої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту:
$V=S_{\text{осн}}\cdot H=132\cdot 20=2640{\text{ см}}^3$

4. Обчислення площі повної поверхні призми

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на висоту призми. Знайдемо периметр трапеції:
$P_{\text{осн}}=a+b+2\cdot c=16+6+2\cdot 13=22+26=48\text{ см}$

Тоді площа бічної поверхні:
$S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot H=48\cdot 20=960{\text{ см}}^2$

Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі основи:
$S_{\text{пов}}=S_{\text{біч}}+2\cdot S_{\text{осн}}=960+2\cdot 132=960+264=1224{\text{ см}}^2$

Відповідь:
$2640{\text{ см}}^3$, $1224{\text{ см}}^2$.