Завдання № 29.8. § 29. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

На малюнку зображено пряму чотирикутну призму, в основі якої лежить трапеція $A B C D$ з основами $A B$ і $C D$ . Запишіть:

1) три пари прямих, паралельних між собою;

2) три прямі, попарно мимобіжні;

3) пряму і площину, перпендикулярні між собою;

4) прямі, паралельні площині $A_{1} D_{1} C_{1}$ ;

5) прямі, паралельні площині $A A_{1} D$ ;

6) прямі, що перетинають площину $C C_{1} B$ ;

7) паралельні площини;

8) прямі, перпендикулярні до площини $A B C$ .

Креслення до завдання 29.8

Покроковий розв’язок:

Згадаємо основні властивості прямої призми:

Бічні ребра прямої призми рівні, паралельні між собою та перпендикулярні до площин основ: $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1} ∥ D D_{1}$ та $A A_{1} ⊥ (A B C)$ .
Основи призми лежать у паралельних площинах: $(A B C) ∥ (A_{1} B_{1} C_{1})$ .
Відповідні сторони основ паралельні: $A B ∥ A_{1} B_{1}$ , $B C ∥ B_{1} C_{1}$ , $C D ∥ C_{1} D_{1}$ , $A D ∥ A_{1} D_{1}$ .
Оскільки чотирикутник $A B C D$ — трапеція, її основи паралельні: $A B ∥ C D$ , а отже, і $A_{1} B_{1} ∥ C_{1} D_{1}$ . Бічні сторони трапеції $A D$ і $B C$ не є паралельними (їхні прямі перетинаються).

1. Три пари паралельних прямих:

Бічні ребра: прямі $A A_{1}$ і $B B_{1}$ ( $A A_{1} ∥ B B_{1}$ ).
Бічні ребра: прямі $B B_{1}$ і $C C_{1}$ ( $B B_{1} ∥ C C_{1}$ ).
Основи трапеції: прямі $A B$ і $C D$ ( $A B ∥ C D$ ).
(Також паралельними є пари $A_{1} B_{1}$ і $C_{1} D_{1}$ , $A A_{1}$ і $D D_{1}$ тощо).

2. Три попарно мимобіжні прямі:
Мимобіжними називають прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині.
Розглянемо, наприклад, прямі $A B$ , $C C_{1}$ та $A_{1} D_{1}$ :

Прямі $A B$ і $C C_{1}$ не перетинаються і не паралельні (пряма $C C_{1}$ перетинає площину основи в точці $C$ , яка не належить прямій $A B$ ).
Прямі $C C_{1}$ і $A_{1} D_{1}$ аналогічно мимобіжні ( $C C_{1}$ вертикальна, а $A_{1} D_{1}$ лежить у горизонтальній площині і не містить точки $C_{1}$ ).
Прямі $A B$ і $A_{1} D_{1}$ мимобіжні, оскільки пряма $A B$ паралельна $A_{1} B_{1}$ , яка перетинає $A_{1} D_{1}$ у точці $A_{1}$ .
Отже, прямі $A B$ , $C C_{1}$ і $A_{1} D_{1}$ — попарно мимобіжні.

3. Пряма і площина, перпендикулярні між собою:
Оскільки призма пряма, кожне бічне ребро перпендикулярне до будь-якої прямої в площині основи, що проходить через його основу.
Отже, пряма $A A_{1}$ перпендикулярна до площини $A B C$ (або $A A_{1} ⊥ (A_{1} B_{1} C_{1})$ ).

4. Прямі, паралельні площині $A_{1} D_{1} C_{1}$ :
Площина $A_{1} D_{1} C_{1}$ — це площина верхньої основи призми. Площина нижньої основи паралельна їй: $(A B C) ∥ (A_{1} D_{1} C_{1})$ . За ознакою паралельності прямої та площини, будь-яка пряма нижньої основи паралельна площині верхньої основи:

пряма $A B$ ;
пряма $B C$ ;
пряма $C D$ ;
пряма $A D$ .

5. Прямі, паралельні площині $A A_{1} D$ :
Площина $A A_{1} D$ містить бічну грань $A A_{1} D_{1} D$ . Пряма, яка не лежить у цій площині й паралельна деякій прямій цієї площини, паралельна самій площині:

пряма $B B_{1}$ (оскільки $B B_{1} ∥ A A_{1}$ і $B B_{1}$ не лежить у площині $A A_{1} D$ );
пряма $C C_{1}$ (оскільки $C C_{1} ∥ D D_{1}$ і $C C_{1}$ не лежить у площині $A A_{1} D$ ).

6. Прямі, що перетинають площину $C C_{1} B$ :
Площина $C C_{1} B$ містить бічну грань $B B_{1} C_{1} C$ . Прямі, які містять ребра, що мають спільну вершину з цією гранню, але не лежать у ній, перетинають її:

пряма $A B$ (перетинає площину в точці $B$ );
пряма $C D$ (перетинає площину в точці $C$ );
пряма $A_{1} B_{1}$ (перетинає площину в точці $B_{1}$ );
пряма $C_{1} D_{1}$ (перетинає площину в точці $C_{1}$ ).

7. Паралельні площини:
Основи будь-якої призми лежать у паралельних площинах, тому:

площина $A B C$ (нижня основа) та площина $A_{1} B_{1} C_{1}$ (верхня основа), тобто $(A B C) ∥ (A_{1} B_{1} C_{1})$ .

8. Прямі, перпендикулярні до площини $A B C$ :
Усі прямі, що містять бічні ребра прямої призми, перпендикулярні до площини її основи $A B C$ :

пряма $A A_{1}$ ;
пряма $B B_{1}$ ;
пряма $C C_{1}$ ;
пряма $D D_{1}$ .

Відповідь:

1) $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B ∥ C D$ ;

2) $A B$ , $C C_{1}$ , $A_{1} D_{1}$ ;

3) пряма $A A_{1}$ і площина $A B C$ ;

4) $A B$ , $B C$ , $C D$ , $A D$ ;

5) $B B_{1}$ , $C C_{1}$ ;

6) $A B$ , $C D$ , $A_{1} B_{1}$ , $C_{1} D_{1}$ ;

7) площини $A B C$ і $A_{1} B_{1} C_{1}$ ;

8) $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ , $D D_{1}$ .

Завдання № 29.8. § 29. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку