Завдання № 29.18. § 29. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Із точки $A$ до кола, радіус якого $35\text{ см}$, проведено дві дотичні $AB$ і $AC$, $BC=56\text{ см}$. Знайдіть довжину відрізка $AB$. Розв’яжіть задачу кількома способами.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості конфігурації та базові обчислення

Нехай точка $O$ — центр кола, тоді радіус $R=OB=OC=35\text{ см}$.
За властивістю дотичної до кола, радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної:
$OB\perp AB(\angle OBA=90^{\circ }),OC\perp AC(\angle OCA=90^{\circ })$

За властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки:

• $AB=AC$;
• пряма $OA$ є бісектрисою кута $BAC$ і кута $BOC$;
• трикутник $ABC$ є рівнобедреним ($AB=AC$), а $OA$ — бісектрисою, проведеною до його основи $BC$.

Отже, $OA$ є серединним перпендикуляром до хорди $BC$. Позначимо точку перетину відрізків $OA$ і $BC$ як $M$. Тоді $OA\perp BC$ та:
$BM=MC=\frac{BC}{2}=\frac{56}{2}=28\text{ см}$

Розглянемо прямокутний трикутник $△OBM$ ($\angle OMB=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$OM=\sqrt{O{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{35^2-28^2}$

Застосуємо формулу різниці квадратів для зручного обчислення:
$OM=\sqrt{(35-28)(35+28)}=\sqrt{7\cdot 63}=\sqrt{7\cdot 7\cdot 9}=7\cdot 3=21\text{ см}$

2. Спосіб 1 (через подібність прямокутних трикутників)

Розглянемо прямокутні трикутники $△OAB$ ($\angle OBA=90^{\circ }$) та $△OBM$ ($\angle OMB=90^{\circ }$).
Кут $\angle AOB$ є спільним для обох трикутників.
Отже, $△OAB\sim △OMB$ за першою ознакою подібності трикутників (за двома рівними кутами).

Із подібності трикутників запишемо відношення відповідних сторін:
$\frac{AB}{BM}=\frac{OB}{OM}$

Звідси знайдемо $AB$:
$AB=\frac{OB\cdot BM}{OM}=\frac{35\cdot 28}{21}=\frac{35\cdot 4}{3}=\frac{140}{3}=46\frac{2}{3}\text{ см}$

3. Спосіб 2 (через метричні співвідношення у прямокутному трикутнику)

У прямокутному трикутнику $△OBA$ ($\angle OBA=90^{\circ }$) відрізок $BM$ є висотою, проведеною до гіпотенузи $OA$.

За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику, квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи на його проєкцію на гіпотенузу:
$O{B}^2=OM\cdot OA$

Підставимо відомі значення та знайдемо довжину гіпотенузи $OA$:
$35^2=21\cdot OA$
$1225=21\cdot OA⟹OA=\frac{1225}{21}=\frac{175}{3}\text{ см}$

Тепер знайдемо катет $AB$ за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника $△OBA$:
$AB=\sqrt{O{A}^2-O{B}^2}=\sqrt{{\left(\frac{175}{3}\right)}^2-35^2}=\sqrt{\frac{30625}{9}-\frac{11025}{9}}=\sqrt{\frac{19600}{9}}=\frac{140}{3}=46\frac{2}{3}\text{ см}$

4. Спосіб 3 (тригонометричний)

У прямокутному трикутнику $△OBM$:
$\mathrm{tg}\angle BOM=\frac{BM}{OM}=\frac{28}{21}=\frac{4}{3}$

Оскільки кут $\angle BOM$ збігається з кутом $\angle BOA$, у прямокутному трикутнику $△OBA$ маємо:
$\mathrm{tg}\angle BOA=\frac{AB}{OB}$

Звідси:
$AB=OB\cdot \mathrm{tg}\angle BOA=35\cdot \frac{4}{3}=\frac{140}{3}=46\frac{2}{3}\text{ см}$

Відповідь:
$46\frac{2}{3}\text{ см}$