Завдання № 29.16. § 29. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Побудуйте рівнобічну трапецію за більшою основою, діагоналлю та тупим кутом.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз задачі
Нехай побудовано шукану рівнобічну трапецію $ABCD$, у якої:

• $AD$ — більша основа ($AD=a$);
• $AC=BD=d$ — рівні діагоналі трапеції;
• $\alpha$ — тупий кут трапеції (кути при меншій основі є тупими, тобто $\angle B=\angle C=\alpha$).

Оскільки $BC\parallel AD$, кути при бічній стороні є внутрішніми односторонніми, тому їхня сума дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle BAD=180^{\circ }-\angle B=180^{\circ }-\alpha$

Звідси у трикутнику $ABD$ відомі:

• сторона $AD=a$;
• кут $\angle BAD=180^{\circ }-\alpha$;
• сторона (діагональ) $BD=d$.

Побудувавши трикутник $ABD$, ми отримаємо вершини $A$, $D$ і $B$. Вершина $C$ знаходиться на прямій, яка проходить через точку $B$ паралельно $AD$, на відстані $AC=d$ від вершини $A$.

2. План побудови

1) Побудувати кут, суміжний із кутом $\alpha$, що дорівнює $180^{\circ }-\alpha$.

2) На довільній прямій відкласти відрізок $AD=a$ (більша основа трапеції).

3) Від променя $AD$ в одну півплощину побудувати кут $\angle DAX=180^{\circ }-\alpha$.

4) Побудувати дугу кола з центром у точці $D$ радіусом $d$. Точку перетину цієї дуги з променем $AX$ позначити як $B$.

5) Через точку $B$ провести пряму $m$, паралельну відрізку $AD$ ($m\parallel AD$).

6) Побудувати дугу кола з центром у точці $A$ радіусом $d$. Точку перетину цієї дуги з прямою $m$ (розташовану по той самий бік від прямої $AB$, що й точка $D$) позначити як $C$.

7) Сполучити точки $B$ і $C$, $C$ і $D$.

3. Обґрунтування

• За побудовою $AD=a$ та $BC\parallel AD$, отже, чотирикутник $ABCD$ є трапецією з більшою основою $a$.
• Кут $\angle BAD=180^{\circ }-\alpha$, тому тупий кут $\angle ABC=180^{\circ }-\angle BAD=180^{\circ }-(180^{\circ }-\alpha )=\alpha$.
• Діагоналі $BD=d$ та $AC=d$ за побудовою.
• Оскільки в трапеції діагоналі рівні ($AC=BD=d$), то за ознакою рівнобічної трапеції чотирикутник $ABCD$ є рівнобічною трапецією.

Отже, трапеція $ABCD$ — шукана.

Відповідь: побудову виконано.